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Introducción
Los ábacos fueron desarrollados por diversas culturas. Los incas, cuyo territorio se extendía desde Chile y Argentina hasta el rio Mayo - Colombia (Pareja, 1986), idearon la yupana, aunque hay evidencia de su existencia antes del apogeo inca (Moscovich, 2007). El término fue acuñado por W. Burns tomando el vocablo quechua yupay que significa ‘contar’, y no del aimara como sugieren Leonard y Shakiban (2010). Fue manipulada por los kipukamayuq para llevar la contabilidad (Pareja, 1986; Mora y Valero, 2019; Paragua et al., 2021).
Con la conquista hispana, murió el caudal de conocimientos precolombinos. Lo que se sabe hoy de la yupana es gracias a las fuentes escritas de la Colonia y a los hallazgos arqueológicos de la yupana de madera de Chordeleg (Fig. 1.a) en 1869 (Radicati, 1951; Carrillo, 2020) y la yupana de piedra de Huancarcuchu (Fig. 1.g) en 1922 (Micelli y Crespo, 2012), en Ecuador. En Perú, la yupana de piedra de Caraz en 1878; la yupana de madera de Chan Chan-Trujillo (Fig. 1.b) en 1967; la yupana de piedra del Callejón de Huaylas (Fig. 1.e) en 1931; las yupanas de arcilla y de hueso de Ica (Fig. 1.f) en 1959; la yupana de barro de Huacones-Cañete (Fig. 1.c) (Tord, 2019); la yupana en la vasija Moche (Fig. 1.h) en 1967, sindicado erróneamente a los incas por Micelli y Crespo (2012).
Además de motivos rituales, se tejieron tres hipótesis sobre el uso de las yupanas: maquetas arquitectónicas, instrumentos de contabilidad y tableros de juegos. La primera teoría se basa en Chordeleg por presentar recintos cuadrados (Apaza, 2017), sin sostenibilidad, pues no existen viviendas con tales diseños. La teoría más aceptada es que son tableros de contabilidad. Desde su hallazgo, en 1908, se han desarrollado varios métodos o interpretaciones sobre su uso como tablero, el de Wassén (1931), Radicati (1951), Burns (1981), De Pasquale (2001), Moscovich (2007), Cinzia (2008) y Chirinos (2010).
Además de los mencionados, la yupana ha recibido el interés de M. Rostworowski (1981), Pereyra Sánchez (1990), Aitken-Soux y Ccama (1990), J. Ansión (1990), M. Orlando (2002; 2003), P. Álvarez (2004), Laurencich y Rossi (2007), J. Christie (2009), R. Cuba (2010), M. Tun (2014), E. Aquise (2015), Altieri y Mackey, y otros.
A partir de las interpretaciones de Radicati y Burns, se han desarrollado experiencias sobre la yupana como material educativo, especialmente para la escuela rural, en diversos países de Latinoamérica. Sin embargo, no se conoce con precisión cuáles y cuántas son las investigaciones y experiencias desarrolladas en educación matemática, qué temáticas se han abordado, en qué países y niveles educativos, qué métodos y modelos de yupana se han desarrollado. Solo se sabe de manera genérica que existen estudios sobre las bondades didácticas de la yupana en la matemática en Perú, Ecuador y Bolivia (Montalvo-Castro, 2014), y una aproximación sobre los soportes documentales e idiomas más utilizados para publicar investigaciones sobre el khipu, yupana y tocapu (Urbizagástegui, 2014). Por tanto, el objetivo del presente es analizar las investigaciones realizadas sobre la aplicación de la yupana en el aprendizaje de la matemática en América Latina, para coadyuvar a la formación de profesores etnomatemáticos (Blanco-Álvarez et al., 2017), delinear campos aún no explorados y, reorientar sus aplicaciones y futuras investigaciones.
Marco teórico
Fue el hallazgo de Richard Pietchmann, en la Biblioteca Real de Copenhague de El Primer Nueva Corónica y Buen Gobierno (1615) de Felipe Guamán Poma de Ayala en 1908 y publicada en 1912 en las actas del Congreso de Americanistas de Londres-Francia, que marcó un hito. El dibujo de la página 360, de un khipukamayuq (contador mayor) que lleva un kipu y al lado izquierdo inferior una yupana de cuatro filas por cinco columnas con círculos blancos y negros en las cantidades de 5-3-2-1 (Fig. 1.d), permitió descifrar el método de funcionamiento.
El dato de Guamán Poma (1987 [1615]): “Cuentan en tablas, numeran de cien mil, y de diez mil, y de ciento, y de diez, hasta llegar a una” (p. 361); de José de Acosta (2008[1590]): “tomarán… sus granos y pondrán uno aquí, tres acullá, ocho no sé dónde; pasaran un grano de aquí; trocarán tres de acullá… ellos salen con su cuenta… sin errar tilde” (p. 211); de Garcilaso de la Vega (1959[1609]): “hacían las cuentas… con piedrezuelas… y las sacaban tan ajustadas… cosa que nuestros aritméticos suelen hacer con mucha dificultad” (T-I, p. 245) y de Juan De Velasco (1789): “depósitos hechos de madera, de piedra o de barro, con diversas separaciones, en las cuales se colocaban piedrecillas” (T-II, p. 11), que evidencia la habilidad mental y matemática inca, permitió desarrollar teorías interpretativas sobre el método de uso de la yupana que, por razones de espacio, se revisan las más relevantes.
Interpretación de Henry Wassén (1931). Wassén hizo el primer acercamiento al funcionamiento de la yupana de Guamán Poma respetando su posición original (vertical). Para este método, los círculos blancos son los hoyos del tablero, y los negros, fichas de cálculo. Las filas están organizadas en orden decimal: Unidades en la fila inferior; Decenas, Centenas y Unidades de Millar, respectivamente. Los casilleros de las filas adquieren los valores de 5, 15, 30 y 30 (Radicati, 1951; Murillo, 2010), debido a que, en el primer casillero cada agujero tiene el valor de uno (1x5=5); en el segundo, cinco (5x3=15), en el tercero, quince (15x2=30) y en el último, treinta (30x1=30). El número 8 se representaría con tres fichas en la columna A (3x1=3) y uno en la columna B (1x5=5), luego 3+5=8 (Fig. 2). El método, al ser poco práctico, incompatible con el sistema decimal y un recurso poco apropiado para la enseñanza de la numeración (Hernández, 2004), quedó desfasada, sirviendo de base a otros estudios.
Interpretación de Carlos Radicati Di Primeglio (1951). A diferencia de Wassén, el tablero de Radicati no lleva grabado los círculos. Los valores se representan y calculan mentalmente. No parece que los incas hayan previsto las perforaciones, cada casilla de acuerdo a su posición adquiere un valor distinto. El tablero tiene los valores de 5-3-2-1, para todas las filas, multiplicadas por las potencias de base 10 (Pacheco, 1999). Los valores en la primera fila (Unidades) son 5x100=5; 3x100=3; 2x100=2; 1x100=1; en la segunda (Decenas), 5x101=50; 3x101=30; 2x101=20; 1x101=10, en la tercera (Centenas), 5x102=500; 3x102=300; 2x102=200; 1x102=100, en la cuarta (Unidades de Millar), 5x103; 3x103; 2x103; 1x103, en la quinta fila (Decenas de Millar), 5x104; 3x104; 2x104; 1x104. La ficha adquiere un valor dependiendo del casillero en el que se ubique. Por ejemplo, el número 20 se representa colocando una ficha en la casilla ‘2’ de la segunda fila (Decenas).
En la adición 18+22+47: En a) están representados los sumandos, 18 con "o", 22 con “l” y 47 con "x" (Figura 3, a)). En b) 2 y 3 se han simplificado a 5 representado con una ficha en la casilla ‘5’ de la primera fila. En c), en la casilla ‘1’ de las decenas, tenemos ahora tres fichas (30), más una de la casilla ‘2’ (20), hacen 50 que es representado con una ficha en ‘5’. En d), no habiendo más simplificaciones, se tiene la respuesta (Fig. 3, d)). Para multiplicar 7x2 (Fig. 3, derecha), se representa 7 dos veces en los casilleros ‘5’ y ‘2’. Luego, las fichas de la casilla ‘2’ hacen 4 (una ficha en la casilla ‘3’ y otra en la ‘1’), en tanto las fichas de la casilla ‘5’ hacen 10 (una ficha en la casilla ‘1’ de las decenas).
Interpretación de William Burns Glynn (1981). Respecto de sus antecesores, Burns desarrolló un método objetivo y práctico, girando la yupana en 90° en sentido contrario a las agujas del reloj (forma horizontal) (Fig. 4). Cual Tablero de Valor Posicional, de derecha a izquierda, representa a unidades, decenas, centenas, miles y diez miles. Cada ficha vale 1, no importa el casillero en el que esté. Las cantidades 5-3-2-1 están en progresión ascendente vertical. Los círculos de las tres primeras filas suman 10, suficiente para representar los números en el sistema decimal (Hernández, 2004). La casilla ‘1’ es la ‘memoria’ y equivale a 10. El número 6971 se representa con cinco fichas en la casilla ‘5’ y una en la casilla ‘3’ de la columna de miles (seis mil); cinco en la casilla ‘5’, tres en la casilla ‘3’ y una en la casilla ‘2’ de las Centenas (novecientos); cinco en la casilla ‘5’ y dos en la casilla ‘3’ de las Decenas (setenta) y, una en la casilla ‘5’ de las Unidades (uno).
Interpretación de Nicolino De Pasquale (2001). De Pasquale hizo una interpretación similar a la de Wassén, bajo el sistema de numeración cuadragesimal (Murillo, 2010), manteniendo la posición original de la yupana. Cada círculo toma el valor de 5 en la primera columna (5x5=25), 3 en la segunda (3x3=9), 2 en la tercera (2x2=4) y 1 en la cuarta (1x1=1), haciendo una sumatoria en todas las filas de 39. Un número como 100 se representaría de la siguiente forma: 2x1x401=80 + 5x2x400=10 + 3x3x400=9 + 1x1x400=1 (Fig. 5). Este método no está conforme a las características de las culturas americanas (Leonard y Shakiban, 2011). Si bien es funcional aún con problemas metodológicos, el sistema en base 40 no se conocía en el Ande (Moscovich, 2007; Cinzia, 2008).
Propuesta de Viviana Moscovich (2007). Moscovich mantuvo la posición original de la yupana, pero como una imagen ‘espejo’ (invertida). La secuencia de los valores de la yupana es 1-2-3-5, de izquierda a derecha, coincidente con la serie Fibonacci (sumar siempre los últimos dos resultados: 0+1=1; 1+0=1; 1+1=2; 2+1=3; 3+2=5; etc.), aunque para Cinzia (2008) eso es solo fascinación. Supone que la casilla ‘4’ fue omitida, por lo que la incorpora. El método emplea la ‘simplificación’ basado en el método Radicati. Para la operación 10x10+1000+20000, primero se coloca 10 fichas en la casilla ‘10’ de la segunda columna (Decenas) (10x10=100) que luego se simplifica con una ficha en la casilla ‘100’ de las Centenas (1x100=100) representado con “®”. El número 1000 se representa con 10 fichas (usando “l”) en la casilla ‘100’ de las Centenas; y el número 20000, con una ficha en la casilla ‘20000’ de las DM. Por simplificación se tiene 21100.
Teoría de Potenza Cinzia Florio (2008). Para Cinzia, la sumatoria de la columna ‘1’ de la yupana da 32 (3 blancas y 2 negras = 32); la columna ‘2’, 64 (6 blancas y 4 negras); la columna ‘3’, 96 (9 blancas y 6 negras) y; la columna ‘5’, 160 (32x5=160), con los que opera el método. En la multiplicación, la columna ‘1’ actúa como ‘multiplicando’, el ‘multiplicador’ son los subfactores más pequeños en los que se descompone (si es 5, en 3 y 2), generando columnas que alojan el producto del ‘multiplicando’ por el subfactor correspondiente. En la última columna, se coloca el producto (suma de la columna de los subfactores). Las fichas negras valen 1; las blancas, 10; las azules; 100 y las rojas, 1000. Para 211x14=2954, en la columna ‘multiplicando’ se representa el número 211 (2 fichas azules=200, 1 blanca=10 y 1 negra=1), utilizándose 4 filas.
Por ejemplo, el número 14 se descompone en sus subfactores 1x10 y 4 (10+4=14) generándose dos columnas ‘multiplicadoras’. En la columna ‘1x10’ se multiplica 211 por 10, tomando los valores de cada fila. Como ejemplo, en la cuarta fila, 1 ficha azul (100) multiplicado por 10 (columna de 1x10) resulta 1000 (ficha roja). En la última columna se representa la suma total de los resultados de la columna ‘1x10’ y ‘4’, por filas (Fig. 7).
Interpretación de Andrés Chirinos Rivera (2010). Para Chirinos, la yupana opera con los 11 agujeros. En la primera fila, de derecha a izquierda, cada círculo tiene valores de 0,1 a 1,1; en la segunda fila, de 1 a 11, en la tercera, de 10 a 110, en la cuarta, de 100 a 1100 y en la quinta, de 1000 a 11000. Plantea que los incas adoptaron un sistema sexagesimal igual a los sumerios. Se puede representar los números de tres formas: ‘acoplada’, ‘desacoplada’ y, ‘concreta’. En la Figura 8 se representa el número 23 con la primera y segunda formas, utilizando “u” y “n”.
Metodología
El estudio corresponde al enfoque cualitativo, siendo la técnica empleada la revisión de literatura de investigaciones y experiencias sobre los efectos de la yupana en la educación matemática realizadas hasta el 2021, a nivel de América Latina, específicamente en Perú, Ecuador, Bolivia, Chile y Colombia. Las unidades de análisis fueron las tesis (segunda especialidad, pre y posgrado), artículos científicos (en bases de datos) y experiencias, obteniéndose 46 trabajos académicos, algunos de acceso restringido. Se extrajo información vía rastreo virtual de páginas como la de la Biblioteca virtual del CONCYTEC - Perú (https://biblioteca.concytec.gob.pe), portal Scopus, Scielo (https://scielo.org), Latindex (https://latindex.com), Google académico (https://scholar.google.es) y repositorios institucionales. Se hizo una búsqueda ampliada mediante las palabras clave ‘yupana’, ‘ábaco inca’ y ‘calculadora inca’.
La estrategia de análisis de información consistió en identificar el documento con información relevante y relacionado al objetivo del estudio. Los datos se analizaron con apoyo de la estadística descriptiva, considerando criterios como el tema abordado, país de desarrollo, nivel educativo en el que se experimentó, los modelos desarrollados y el método más empleado. Se exponen las experiencias innovadoras, en tanto otros solo fueron referenciados con fines de consulta posterior.
Resultados y discusión
La experiencia pionera de Martha Villavicencio Ubillús, Perú, 1982
En 1982, en el marco de la política de Educación Bilingüe del siglo XX, a fin sanar los procesos cognitivos violentados por la enseñanza memorística de la matemática, consecuencia de la educación castellanizante (Vilca-Apaza et al., 2021), Villavicencio adaptó la yupana de Burns, con criterio pedagógico, para que niños de primeros grados de escuelas bilingües (castellano-quechua/aimara) aprendan manipulando. Las columnas (orden posicional), de derecha a izquierda, llevan la letra S de sapankuna (Unidades); Ch, chunkakuna (Decenas); P, pachaqkuna (Centenas); W, waranqakuna (Millares); y ChW, chunka waranqakuna (Decenas de Millar). Los casilleros contienen 5, 3 y 2 agujeros respectivamente, recortando el 1. En la adición, 234+45=279, el primer sumando, se representa con 4 fichas en las Unidades, 3 en las Decenas y 2 en las Centenas; el segundo sumando, con 5 fichas en las Unidades y 4 en las Decenas. El resultado se obtiene por simplificación (Fig. 9).
Para efectuar la resta 67-43=24, se coloca primero las fichas del minuendo (6 fichas en las Decenas y 7 en las Unidades); luego, como el sustraendo es la cantidad a quitar, retiramos 3 fichas de las Unidades y 4 de las Decenas. Las restantes son el resultado (diferencia).
La yupana expuesta por Oscar Pacheco, Bolivia, 1999
Pacheco (1999), al estilo de Villavicencio, expone la experiencia boliviana, siguiendo el método Burns. En la multiplicación 23x3=69, basta repetir el multiplicando (23) tantas veces indique el multiplicador (3), una vez en a), 2 veces en b), 3 veces en c) y tenemos el producto (69) en d) (Fig. 11).
Yupana dinámica y radicales de Carlos Hernández, Colombia, 2004
Hernández (2004) desarrolló un modelo rectangular de yupana para calcular la raíz cuadrada, aplicando el método Radicati. El número 2351 se representa en la yupana de la Figura 12. El cálculo de la raíz cuadrada de un número necesita dos yupanas de siete órdenes. Es muy probable que en operaciones complejas se haya requerido de yupanas adicionales para almacenar granos (Leonard y Shakiban, 2010). El método empleado se llama Genocidio, y consiste en eliminar cantidades.
El modelo de Miguel Pinto Tapia, Perú, 2010
Pinto (2010) desarrolló una experiencia con la yupana arqueológica del Callejón de Huaylas (Fig. 1.e), descifrada por De Pasquale. Esta yupana tiene dos áreas: registro y cálculo. El primero tiene 14 divisiones (área sombreada), el lado derecho registra números naturales y el izquierdo, decimales. El segundo tiene siete divisiones internas con los valores 1-2-3-5 (Fig. 13). Al sumar 6+3=9, se representa el primer sumando en el área de cálculo y se pone cuentas en el casillero de las unidades; luego, se representa el segundo sumando y se agrega cuentas en casillero de las unidades. Finalmente, se cuenta lo que se ha reunido, siendo el resultado.
Experiencia de Jesús Ríos Mencia, Perú, 2013
Para Ríos (2013), manteniendo la posición original de la yupana, en las casillas de la primera, segunda y tercera columna, llamada Patanraqui, se representa y opera cantidades de 1 a 10; la cuarta columna, de un círculo, son casillas ‘comodín’, y sirven para reemplazar 5 unidades con un solo grano (pisqarantin = P.R.) (Fig. 14). Es una adaptación del método Burns. Para sumar 4927 + 1835 = 6762, la cantidad 4927 se representa con 4 fichas en la casilla ‘5’ de la cuarta fila; 4 fichas en la casilla ‘5’ y una en la casilla ‘1’ (que vale por 5) de la tercera fila; dos fichas en la casilla ‘5’ de la segunda fila; y dos fichas en la casilla ‘5’ y una en la casilla ‘1’ de la primera fila (esquema A, Fig. 14). Se procede igual con 1835 (esquema B). Se simplifica las fichas para obtener el resultado (Zeballos, 2019).
Yupana multibase de Herbert Apaza Luque, 2017-Perú
Apaza (2017) propuso teóricamente la Yupana Multibase, funcional para sistemas distintos al decimal (Pardo, 2018; Zeballos, 2019), aunque para Leonard y Shakiban (2010) solo es posible operar con el sistema quinario-decimal, como en el ábaco chino. La propuesta aplica el método Radicati. En la parte inferior contiene valores de 5, 3, 2 y 1, y en la parte lateral derecha, las iniciales ‘S’, ‘CH’, ‘P’, W’ y ‘CHW’, al igual que Villavicencio. Se mantiene la casilla ‘1’ para la descomposición de los números 6, 4 y 9.
Para efectuar la sustracción 8-5=3, se usa fichas de colores. Se representa 8 con fichas negras y 5 con fichas blancas. Las fichas emparejadas se retiran, y el resultado será lo que quede (Fig. 15). En la división se emplea la concepción de ‘distribuir en grupos’. El dividendo (color negro) es distribuido en grupos según indica el divisor (color marrón). En 32/4=8, una vez representado el número 32, las fichas serán distribuidas equitativamente en las casillas ‘3’ y ‘1’. La cantidad final que queda en cada casillero es el resultado.
Yupana y fracciones de Ángel Palli Salas, Perú, 2015
Palli (2015) desarrolló un modelo de yupana para enseñar fracciones con el método Radicati. Consta de tres columnas principales signadas con ‘enteros’, ‘denominador’ y ‘numerador’, dividida cada una en tres subcolumnas: Unidades, Decenas y Centenas. Para representar 2/5 se coloca una ficha en la casilla ‘2’ de las unidades del ‘numerador’ y otra en la casilla ‘5’ de las unidades del ‘denominador’ (Fig. 16, izquierda). En una adición de fracciones, se utiliza dos fichas de colores según los sumandos. En 3/8 + 4/8, primero se representa estas cantidades; luego, al ser fracciones homogéneas, en la columna ‘denominador’ queda 8 con un solo color, se suman los numeradores (3+4=7), y las fichas restantes, en su forma más simple, son el resultado (7/8) (Fig. 16, derecha).
Yupana, decimales, matrices y vectores
Se hallaron dos modelos de yupana para operar decimales: la del Callejón de Huaylas expuesta por Pinto (2010) y la de Rojas y Stepanova (2015. No existen evidencias de si los incas operaron con decimales; pero, para Rojas y Stepanova, basta imaginarse una línea en la yupana de Guamán Poma que divida a los números enteros por encima y los decimales por debajo. En la Figura 17 se representa el número decimal 54,37. Además, Rojas y Stepanova (2015) desarrollaron un método para representar números utilizando matrices. En este método, cada semilla se multiplica por el valor del casillero (5-3-2-1), similar al método De Pascuale. En vez de representar tediosamente los números (sumatorias) con nudos en los khipus, proponen representarlo simplificando y de forma compacta a través de la teoría de matrices y vectores.
Yupana y números enteros de Jesús Malpartida y otros, 2017- Perú
Malpartida et al. (2017) desarrollaron una yupana para operar números enteros consistente en una tabla de doble entrada de 11x11 (Fig. 18), pudiendo ser de menor relación.
Yupana, logaritmos y potenciación
Además de Apaza (2017), los investigadores Bustos et al. (2019) plantean hacer uso de la yupana en el aprendizaje de la potenciación y logaritmos con base al modelo Wassén, empleando dos yupanas (principal y auxiliar). Para hallar el 
donde n y x son números naturales mayores a 0, primero, se representa ‘n’ en la yupana auxiliar y ‘x’ en la principal, y se opera siguiendo un procedimiento establecido por los autores.
Desarrollos digitales de la yupana
Esta riqueza etnocientífica tiene cualidades para adaptarse a las exigencias de la era digital. Uno de los primeros hardware para la yupana de Guamán Poma fue ideado por Gonzales (2015) y comprende una placa de circuito (1), sensores (2), microprocesador (3), interruptores (4, 4’, 4”), circuitos integrados (5), pantalla de visualización LCD (6) y cubierta (7). El tablero está dividido en tres filas (U, D, C) con sensores de acuerdo a los agujeros (5-3-2-1) (Fig. 19). Es una herramienta para cálculos matemáticos donde las cantidades se ingresan picando con el mouse.
Rojas y Stepanova (2015), en Chile, desarrollaron una aplicación de la yupana para tabletas, teléfono celular y PC, un juego digital educativo basado en matrices y vectores, en tres idiomas: quechua, inglés y castellano. Consta de un menú con cuatro botones: presentación (Wasi), jugar (Puqllay), manual, y salir. En la Figura 20, con las semillas móviles (huayruro y maíz), se representa los números 5437 y 235.
Por su parte, Montalvo (2017), en Perú, desarrolló un prototipo de video juego interactivo llamado Yupi 10 para que niños de nivel primario aprendan a sumar y restar (Fig. 21). La adición 18+5 se resuelve activando, con el cursor, 8 unidades en la primera columna y 1 decena en la segunda columna (a); luego se añade 5 unidades en la primera columna y como en ella solo hay dos agujeros libres (b), se canjea las 10 unidades por una decena (apagar las luces rojas y encender una luz azul en la segunda columna) (c), debiendo prender solo 3 unidades restantes. Las luces que quedan prendidas dan 23 (d).
Además de estos desarrollos digitales están las yupanas electrónicas tamaño calculador de Hernández (2004); el software yupana ‘Tawa Pukllay’ de Dhavit y Divapati Prem (2014) en Perú; la ‘yupana digital’ de Jennylee Murillo (2010) en Bolivia y, la aplicación ‘One laptop per child’ del Instituto Tecnológico de Massachusetts, lanzado en 2005, para que niños de 35 países aprendan jugando. Estos desarrollos son poco conocidos en las aulas de formación de formadores, y por profesores de aula, por lo que requieren investigación.
Investigaciones y experiencias desarrolladas sobre la yupana como material educativo
Tabla 1 Experiencias con la yupana según temática, nivel educativo, año y país.
| Autor(es) | Tema abordado | Nivel educativo | Año | País |
|---|---|---|---|---|
| Villavicencio Ubillús. | Operaciones aritméticas | Primaria | 1982 | Perú |
| Pacheco Rios. | Operaciones básicas | Primaria | 1999 | Bolivia |
| Ortega y Guzmán. | Operaciones básicas | Primaria | 2003 | Perú |
| Hernández García. | Operaciones básicas y radicales | Primaria | 2004 | Colombia |
| Martinez Avendaño. | Numeración | Primaria | 2007 | Colombia |
| Huanca y Payehuanca. | Noción de número | Inicial | Perú | |
| Fernández López. | Operaciones básicas (adultos) | Primaria | Bolivia | |
| Bousany. | Aprendizaje de la aritmética | Primaria | 2008 | Perú |
| Lina Nieto. | Operaciones | Primaria | 2009 | Colombia |
| Mamani Vargas. | razonamiento lógico matemático (docentes) | Superior | 2010 | Perú |
| Murillo Zambrana. | Operaciones básicas. Yupana digital | Primaria | Bolivia | |
| Choquehuanca. | Adición | Primaria | Perú | |
| Pinto Tapia. | Operaciones básicas, decimales. Yupana arqueológica | Primaria | Perú | |
| Mejía Quispe. | Operaciones básicas. | Secundaria | 2011 | Perú |
| Quispe y Mamani. | Multiplicación | Primaria | 2012 | Perú |
| Seráfico Narciso. | Adición | Primaria | 2013 | Perú |
| Ríos Mencia. | Números y operaciones básicas | Primaria | Perú | |
| Arenas y Pacca. | Adición | Primaria | Perú | |
| Vilchez Chumacero. | Número y operaciones aritméticas | Primaria | Perú | |
| Gonzales Arnao. | Operaciones aritméticas | Primaria | 2015 | Perú |
| Ccolque y Suni. | Números y operaciones | Primaria | Perú | |
| Palli Salas. | Fracciones | Primaria | Perú | |
| Rojas y Stepanova. | Decimales, matrices y vectores. Yupana digital PC | Secundaria | Chile | |
| Apaza y Atrio. | Numeración | Primaria | 2016 | Perú |
| Pachas de la Colina. | Suma y resta | Primaria | Perú | |
| Gómez Chaves. | Operaciones básicas | Primaria | Colombia | |
| Aroca y Lasso. | Operaciones básicas | Primaria | Colombia | |
| Apaza Luque. | Operaciones básicas, potencia y radicales | Secundaria | 2017 | Perú |
| Montalvo-Castro. | Razonamiento matemático. Yupi 10 | Primaria | Perú | |
| Obeso Macassi. | Operaciones básicas | Primaria | Perú | |
| Holguín Atehortúa. | Número | Inicial | Colombia | |
| Malpartida, Meramendi, y Meza. | Multiplicación de Enteros. Yupana 11*11 | Secundaria | Perú | |
| Basilio, Javier y Ortega. | Operaciones básicas | Secundaria | 2018 | Perú |
| Bernedo Navarrete. | Operaciones aritméticas | Primaria | Perú | |
| Espitia Pinilla. | Problemas multiplicativos | Primaria | Colombia | |
| Pardo Gómez. | Número | Primaria | Perú | |
| Guzmán, Huamani y Moya. | Adición y sustracción | Primaria | Perú | |
| Zeballos Quea. | Operaciones básicas | Primaria | 2019 | Perú |
| Saldívar, Saldívar y Goycochea. | Operaciones aritméticas. | Primaria | Perú | |
| Yon y Muena. | Números y operaciones básicas | Inicial | Perú | |
| Bustos, Vergara y Luque. | Operaciones básicas, potencia y logaritmos | Secundaria | Colombia | |
| Mora y Valero. | Operaciones básicas y potenciación | Primaria | Colombia | |
| Carrillo Baldeón. | Adición y sustracción | Primaria | 2020 | Ecuador |
| Figueroa y Mena. | Operaciones fundamentales | Primaria | Costa Rica | |
| Paragua, Paragua y Paragua. | Multiplicación de números enteros. | Superior | 2021 | Perú |
| Huanca y Mamani. | Adición y sustracción | Primaria | Perú |
De acuerdo a la tabla 1, los estudios sobre la yupana en la educación matemática, cronológicamente, datan desde 1982 hasta 2021, identificándose 46 estudios, de los cuales 67,40% se realizaron en Perú, seguidos de Colombia con 19,57%, Bolivia con 6,52%, Chile, Ecuador y Costa Rica con 2,17% cada uno. El 100% de ellos reportan resultados favorables, reduciendo la actitud negativa hacia la matemática (Choquehuanca, 2010). Coincidiendo con Pacheco (1999), el 76,09% de los estudios se enfocan más en niños del nivel primario, seguido del nivel secundario con solo 13,04%, inicial con 6,52% y, superior con 4,35%. En educación primaria, el uso de la yupana se da en contextos rural-bilingües, pudiendo y debiendo aplicarse también en contextos urbano-hispanos, al ser un material de propiedades universales. En educación superior está enfocado en procesos de formación de profesores etnomatemáticos y reflexivos, evitándose el consumismo de la matemática occidental (Blanco-Álvarez, 2016 y Blanco-Álvarez et al., 2017).
Respecto a los temas abordados, el 60,00% está relacionado a la eficacia de la yupana como material educativo en el aprendizaje de operaciones básicas con números naturales, siendo esta la cualidad más conocida. Sin embargo, existen experiencias desarrolladas en aprendizaje de la numeración (15,00%); potenciación (5,00%); razonamiento matemático, radicales, decimales y números enteros (3,33% cada uno) y, logaritmos, decimales, matrices y vectores (1,67% cada uno), que visibilizan las múltiples aplicaciones desconocidas de la yupana, como advierten Apaza y Atrio (2016). Los incas no solo realizaban operaciones básicas en la yupana. Hubo yupanas más complejas en las cuales debieron realizar cálculos superiores con raíz cuadrada, potenciación, sin los cuales hubiera sido imposible realizar grandes obras de ingeniería (Pachas, 2016).
Las yupanas de la Figura 1 aún no han sido motivo de interpretaciones teóricas y, por ende, tampoco de aplicaciones en educación matemática, excepto el modelo arqueológico de Pinto (2010) y el modelo etnológico de Guamán Poma. Este último, adaptado por Villavicencio, está presente en el 80,85% de las experiencias, aun cuando se tiene innovadoras adaptaciones, como la yupana fraccionaria (1 = 2,13%), la yupana para números enteros (2 = 4,26%), yupana decimal (2 = 4,26%), la yupana digital para PC, tableta y celular (3 = 6,37%), y la yupana videojuego (1 = 2,13%), que ofrecen oportunidades lúdicas, innovadoras e interactivas de aprendizaje. No creemos necesario poner límites al uso de las TICs para fortalecer la identidad cultural como plantean Roncoroni y Bailón (2020). La convergencia entre tecnología étnica y digital dinamizan no solo el aprendizaje de la matemática sino el proceso educativo en general, más aun en escuelas interculturales (Salas et al., 2016).
No hay consenso sobre cuál fue el método original usado por los incas para realizar cálculos. Lo que sí se sabe es que, del conjunto de métodos propuestos, el 95,65% de las investigaciones se han enfocado en el método Burns, coincidiendo con Bousany (2008), lo que obedece a las exigencias psico-pedagógicas del estadío de las operaciones concretas del desarrollo del pensamiento planteado por J. Piaget (6 a 12 años de edad). Esto es que, la yupana de Guamán Poma, adaptada por Villavicencio, está diseñada para el trabajo pedagógico con niños que necesitan manipular objetos para adquirir conceptos (Aroca, 2016; Espinosa y Jiménez, 2019). Sin embargo, es posible emplear la yupana en estudiantes de secundaria y universidad, y en la formación de profesores etnomatemáticos, que se encuentran en la etapa de las operaciones formales (12 años de edad a más). Para ello, existe el método abstracto de Radicatti, obviado en las investigaciones. Consideramos que se deben desarrollar estudios con este método porque ofrece cualidades para el desarrollo del pensamiento formal (Berrocal y Palomino, 2022). Un ejemplo es el del estudiante con bajo rendimiento de la Escuela Gran Bretaña de Perú, que gracias a la yupana identificó el padrón de la serie Fibonacci (Tun y Diaz, 2015).
La verdadera potencialidad de la yupana en la educación matemática, a nuestro entender, aún no ha sido explotada. La yupana sirve para cultivar la capacidad de abstracción, de síntesis y deducción, en suma, para construir el pensamiento matemático (Espinosa y Jiménez, 2019). Es apropiada para adquirir habilidad de cálculo mental, de concentración y seguridad personal (Hernández, 2004). Cronistas como Garcilaso y Guamán Poma indican que los Quipucamayuq eran más rápidos y eficaces que los invasores (Rojas y Stepanova, 2015). En las Tradiciones Peruanas, Ricardo Palma narra cómo el inca aprendió rápidamente el ajedrez tan solo ver jugar a los españoles. En 1577, José Acosta, informa a sus superiores en Roma, que los incas aprendían la teología, filosofía y cánones para ser sacerdotes en dos meses, mientras los españoles requerían cinco (Antúnez, 2003).
Conclusiones
Las bondades de la yupana no han sido explotadas aún en su integridad, solo en lo básico. Hasta el 2022, el 60,00% de los estudios ha enfocado su interés en los efectos de la yupana, como material educativo, en el aprendizaje de la aritmética básica, especialmente en niños de educación primaria, por lo que más investigaciones al respecto son ya innecesarias. La hipótesis de que los incas no empleaban la yupana en operaciones complicadas, queda superada; las teorías interpretativas, las experiencias y modelos innovadores desarrollados en diversos países de Latinoamérica, enseñan que la yupana tiene una amplia gama de aplicaciones aún desconocidas, posibilidades de trabajo con operaciones complejas como radicales, potencias, decimales, enteros, fracciones, logaritmos, matrices, vectores, y conversiones de base, sugiriéndose reorientar las investigaciones educativas hacia estas temáticas.
Del conjunto de métodos desarrollados sobre el uso de la yupana de Guamán Poma, el 95,65% de las experiencias de educación matemática en América Latina, ha empleado el método Burns. Este método tiene limitaciones, pues responde solo a las exigencias del periodo de las operaciones concretas del desarrollo del pensamiento de Piaget. Esa practicidad y simplicidad metodológica le ha quitado una ventaja potencial a la yupana, la de cálculo mental, necesarios en grados superiores, que ofrece el método Radicati. Este último, debe promoverse en las escuelas, colegios y universidades, para el desarrollo del pensamiento abstracto, más aun considerando los bajos niveles alcanzados en las evaluaciones PISA de la OCDE.
La yupana es un material educativo autóctono e intercultural idóneo no solo para la educación matemática sino para el desarrollo de la inteligencia y el pensamiento matemático y, para la formación de la identidad, la dignidad, la creatividad y actitudes interculturales. Es una posibilidad de investigación y de implementación en las instituciones de formación, en escuelas rurales y citadinas de Latinoamérica. Queda el reto de divulgar sus bondades. América en lo cultural está apenas por descubrir.
Conflicto de intereses
Entre los autores no media conflicto de intereses.
