Datos

Para el presente estudio de investigación, se utilizó información secundaria correspondiente al arribo mensual de turistas extranjeros al Perú para el periodo enero 2003 - diciembre 2020. La Información fue extraída del sitio web del Ministerio de Comercio Exterior y Turismo (MINCETUR, 2021) a través del Sistema de Información Estadística de Turismo. Para el análisis estadístico y econométrico de los datos se recurrió al software Stata 2016.

Metodología de Box-Jenkins (BJ)

Metodología propuesta por ^{Box & Jenkins (1976}), el cual asume que, dado una serie temporal (Y _t ) es explicada por valores pasados o rezagados de sí misma y por los términos de error estocásticos (^{Gujarati & Porter, 2010}). Según ^{Pérez (2006}), la aplicación de la metodología BJ de una serie de tiempo, consiste en derivar un modelo que se ajuste a:

Procesos autorregresivos AR(p)

^{Brooks (2008}) sostiene que un proceso autorregresivo es aquel en el que el valor actual de una serie (Y _t ) depende únicamente de sus valores tomados en periodos anteriores más un término de error. Matemáticamente un proceso autorregresivo de orden p, denominado AR(p) puede expresarse como la ecuación (1):

En donde µ denota el intercepto y µ _t indica el termino de perturbación de ruido blanco.

Una manipulación de la ecuación (1) para expresarla de manera más compacta estaría denotado como:

Utilizando el operador de rezagos (<math> <mrow> <msub> <mi>y</mi> <mrow> <mi>t</mi><mo>−</mo><mi>i</mi></mrow> </msub> <mo>=</mo><msup> <mi>L</mi> <mi>i</mi> </msup> <msub> <mi>y</mi> <mi>t</mi> </msub> <mo stretchy='false'>)</mo></mrow></math> en la ecuación (2), se obtiene:

De manera más resumida, la ecuación (3) vendría a expresarse de la siguiente manera:

Donde, ϕL=(1−ϕ1L−ϕ2L2−…−−ϕpLp

Procesos de medias móviles MA(q)

Un proceso de media móvil es una combinación lineal de procesos de ruido blanco, de tal modo que dada la serie y _t depende de los valores actuales y anteriores de un término de perturbación de ruido blanco (^{Brooks, 2008}). Matemáticamente es expresado como la siguiente ecuación:

En el que µ representa el intercepto; q es el orden del proceso de media móvil denotado por MA(q) y µ _t el termino de perturbación estocástica. La ecuación (5) en su forma resumida es denotada como:

Haciendo uso el operador de rezagos (ut−i=Liut), la ecuación 6 puede ser descrito como:

O de manera más resumida:

Donde: θL=1+θ1L+θ2L2+…+θqLq

Proceso mixto ARMA(p,q)

Según ^{Commandeur y Koopman (2007}) un proceso mixto conocido como proceso de media móvil autorregresivo (ARMA) es resultado de la combinación de los procesos de media móvil con q términos MA(q) y autorregresivo con p términos AR(p). El proceso ARMA(p,q) establece que el valor actual, dado una serie y _t depende linealmente de sus propios valores rezagados más una combinación de los valores actuales y anteriores de un término de perturbación de ruido blanco. Matemáticamente se expresa como la siguiente ecuación:

Con Eut=0; Eut2=σ2; Eutus=0, t≠s

La ecuación (9) en su forma reducida puede ser expresada de la siguiente manera:

Haciendo uso del operador de rezago, denotados en las ecuaciones (3) y (4), la ecuación (10) se reescribiría de la siguiente manera:

Donde: ϕL=1−ϕ1L−ϕ2L2−…−ϕpLP

θL=1+θ1L+θ2L2+…+θqLq

Modelo ARIMA (p,d,q)

La modelización ARIMA incorpora el orden de integración denotado por la letra d; es decir, un modelo ARIMA (p,d,q) nos permite describir una serie de observaciones luego de haber sido diferenciadas d veces, con el fin de extraer las posibles fuentes de no estacionariedad (presencia de raíz unitaria) y de esta manera lograr transformar la serie en un proceso de ruido blanco o un proceso puramente aleatorio (^{Pérez, 2006}).

Matemáticamente dado un modelo ARIMA(p,d,q)(d=1), puede ser expresado de la forma siguiente:

De manera resumida la ecuación (12), se denotaría:

Sustituyendo por el operador de rezagos, la ecuación (13) y de una manera más resumida estaría expresado de la siguiente manera:

Donde: Δ = (1 - L)

ϕL=1−ϕ1L−ϕ2L2−…−ϕpLp

θL =1+θ1L+θ2L2+…+θqLq

Por consiguiente, sea un modelo ARIMA (p,d,q)(d=d), matemáticamente vendría expresado como se muestra a continuación:

Asimismo, la ecuación (15) en su manera simplificada es denotada de la siguiente manera:

Incluyendo el operador de rezagos en la ecuación (16), este se expresaría como:

Donde: Δd=1−Ld

ϕL=1−ϕ1L−ϕ2L2−…−ϕpLp

θL =1+θ1L+θ2L2+…+θqLq

Modelo ARIMA estacional (SARIMA)

^{Altmark et al. (2015}) sostienen que la mayoría de las variables económicas y las referentes a la demanda de turismo tienden a presentar unos comportamientos estacionales, mismos que pueden ser modelizados a través de series de tiempo univariados denominado SARIMA (modelo estacional autorregresivo integrado con medias móviles).

Cuando existe la prevalencia de un componente estacional en la serie y _t se deberá primero desestacionalizar antes de ejecutar las pruebas de estacionariedad y de aplicar la metodología Box-Jenkins (BJ) para el pronóstico, debido a que esta condición, sea el caso de que la serie y _t diferenciada en la parte regular y que presente estacionalidad pueden señalar estacionariedad en la serie, cuando probablemente no sea cierto (^{Rosales et al., 2013}).

Un modelo ARIMA estacional, aparte de presentar en su estructura el componente regular (p,d,q), incluye patrones de variación estacional denotados por las siglas P;D;Q y s; donde:

Matemáticamente, la parte estacional de un modelo SARIMA estaría denotado por la ecuación:

De manera resumida, la ecuación (18) estaría expresado:

Incluyendo el operador de rezagos en la ecuación 18, se obtendría:

Donde: φL=1−φ1Ls−φ2Ls2−…−φPLsP

αL=1+α1Ls+α2Ls2+…+αQLsQ

De tal forma que, tomando las ecuaciones distintivas 17 y 20, podríamos representar un modelo ARIMA (p,d,q)(P,D,Q) _s estacional de la siguiente manera:

Etapas de la metodología Box-Jenkins

Dentro de las etapas propias de la metodología Box y Jenkins dado una variable de serie temporal comprende: el análisis de estacionariedad (ruido blanco) de la variable en estudio, para ello se recurre a las pruebas gráficas (correlogramas FAS y FACP) o de manera formal a las pruebas estadísticas de raíces unitarias ADF de ^{Dickey & Fuller (1979}) y PP en honor a los autores ^{Phillips y Perron (1988}); identificación del proceso generado de datos (AR, MA o ARIMA) de orden p,d,q a través de los correlogramas FAS y FACP de la serie estacionaria; especificación y estimación del modelo AR, MA, ARMA (variable integrada de orden cero), ARIMA (variable integrada de algún orden) o SARIMA. Posteriormente, se valida el modelo especificado a través de las pruebas de significancia individual (estadístico z de distribución normal) y conjunta (estadístico Wald o la prueba de RV), las raíces invertidas de AR y MA (valores menores a la unidad), análisis de los residuos (ruido blanco y normalidad), los criterios de información de ^{Akaike (1974}) y ^{Schwarz (1978}) para la selección del modelo adecuado (elegir el modelo con menor valor del criterio de Akaike y Schwarz); pronostico con el modelo seleccionado y validado. Finalmente, se realiza la validez de la predicción para la toma de decisiones.

Análisis descriptivo

Fundamentado en los acontecimientos relacionados a la COVID-19 y las medidas adoptadas por la mayor parte de los países de Europa, Asia y América, incluido el Perú (cuarentena, cierre de fronteras, prohibición de viajes y otros), en el transcurso del año 2020 se denota una caída del 78.4% del arribo de turistas extranjeros a nuestro país, traducido en pérdida de ingresos y generación de empleo; sin embargo, a pesar de tener referencias como las crisis del 2009 y 2014, la crisis desencadenada por la COVID-19 marcará un precedente sin comparación alguna.

Un análisis preliminar de la serie y _t ilustrado en la figura 3 muestra la presencia de una tendencia creciente hasta fines del 2019 y una caída a inicios de marzo del 2020 (periodo en el que la OMS declara al nuevo coronavirus como pandemia mundial), así como una media inestable que hace que en ciertos puntos la serie tome valores altos y en otros valores bajos (picos), lo que alude a la ausencia de estacionariedad en la serie, con una alta probabilidad de existencia de raíz unitaria, que para tal propósito, se aplicaron las pruebas de raíz unitaria de Dikey y Fuller, así como el de Phillips y Perron expuestos en el siguiente acápite.

Pruebas de raíz unitaria (estacionariedad)

En la Tabla 1 se muestran los resultados de las pruebas de raíz unitaria de Dickey-Fuller aumentada y de Phillips-Perrón de la serie y’ _t , aceptando la hipótesis nula de presencia de raíz unitaria en la serie en niveles (no estacionariedad). No obstante, el cálculo de la serie en primeras diferencias, frente a la hipótesis nula, esta es rechazada, concluyendo de esta forma que la serie es integrada de orden cero (�sdyt' ~ I0) o lo que es lo mismo, la serie es integrada de orden 1 en niveles (I(1)).

Identificación del modelo SARIMA

En la Figura 3 se aprecia la variable referente al arribo de turistas internacionales al Perú durante el periodo enero 2003 a diciembre 2020, suavizada mediante la técnica de media móvil ponderada exponencial doble (DEWMA) que según ^{Paz (2016}) es una técnica que permite la detección de cambios en la media del proceso y adecuado para pronósticos a corto plazo. Por lo tanto, sea:

La serie suavizada muestra un patrón de estacionalidad, dado que al extraer muestras pequeñas de periodos iniciales y finales (2003-2005 y 2017-2019) se presencia puntos altos en el mes de septiembre respectivamente, por lo que estamos frente a un modelo ARIMA estacional o SARIMA de longitud mensual (12 meses).

Estimación del modelo SARIMA

En la Tabla 2 se aprecia que los valores estimados de los parámetros del modelo seleccionado son estadísticamente significativos al 1% de significancia de manera individual de acuerdo con la probabilidad z. La significancia de manera conjunta es muy alta en términos del estadístico de Wald que asciende a 1293.58, el valor critico de un chi cuadrado al 1% de significancia con 3 grados de libertad es 11.344, por lo que se rechaza la hipótesis conjunta de que los coeficientes de las variables explicativas en conjunto sean cero. Los valores estimados se resumen en las ecuaciones 21 y 22 respectivamente.

Wald chi23=1293.58 0.000

Validación del modelo SARIMA

La Figura 5 muestra que los valores de las raíces del polinomio AR-MA se encuentran dentro del círculo unitario (variable dependiente estacionaria) satisfaciendo la condición de invertibilidad, asimismo, indica que el modelo seleccionado no se encuentra sobreparametrizado, es decir, no se estiman demasiados coeficientes que sobrecarguen al modelo así resulten estos significativos.

Para verificar el comportamiento de los residuos como ruido blanco (aleatoriedad), se aplicaron las pruebas de Portmanteau propuesto por ^{Box y Pierce (1970}) posteriormente perfeccionado por ^{Ljung y Box (1978}), y la de ruido blanco del periodograma acumulativo planteado por ^{Bartlett (1967}) bajo la siguiente hipótesis nula:

H0:los residuos del modelo son ruido blanco

Respecto a la prueba de Portmanteau, se tiene que el valor para la prueba chi-cuadrado es relativamente alto, lo que, a un nivel de significancia del 5% implica aceptar la hipótesis nula planteada, en consecuencia, los residuos del modelo seleccionado se distribuyen según un ruido blanco (ausencia de autocorrelación).

En tanto que la prueba estadística de Bartlett toma el valor de 0.9444 (Prob > B), que evidentemente es mayor a 0.05, se infiere que, a un nivel de confianza del 95% no se rechaza la hipótesis nula, concluyendo que los residuos del modelo seleccionado se comportan como un ruido blanco. Gráficamente, la conclusión se valida, dado que se observa que todos los coeficientes se encuentran dentro de las bandas de confianza (ver Figura 4). En general, ambas pruebas estadísticas, conllevan al no rechazo de la hipótesis nula planteada, comprobando de esta manera la ausencia de autocorrelación en los residuos del modelo Sarima (1,1,1)(0,1,1)₁₂.

Proyección de la demanda internacional de turistas en el Perú

La proyección de la demanda internacional de turistas ha sido en función al modelo estimado utilizando la ecuación 22, para los meses de enero 2021 a junio 2022, tal como se aprecia en la Figura 5. Se infiere que el arribo de turistas internacionales tiende a una recuperación de manera moderada (tendencia pesimista) dado el levantamiento gradual (reanudación) de viajes en algunos países de Europa que representa 50% del turismo internacional en países de América, África y Oriente Medio (UNWTO, 2020). No obstante, la incertidumbre sobre la evolución de la COVID-19 en la salud pública plantearía nuevos desafíos y variaciones sin precedentes en el sector turismo que permitan su sostenibilidad y resiliencia en el tiempo.