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## On-line version ISSN 2313-2957

### Rev. investig. Altoandin. vol.24 no.2 Puno Apr./Jun. 2022  Epub May 16, 2022

#### http://dx.doi.org/10.18271/ria.2022.419

Artículo Original

Uso de sensores para modelamiento matemático durante el tostado de granos de cacao (Theobroma cacao) de la variedad Chuncho

Use of sensors for mathematical modeling during the roasting of cocoa beans (Theobroma cacao) of the Chuncho variety

1Escuela profesional de ingeniería de alimentos, Universidad Nacional Intercultural de Quillabamba. El Arenal s/n. Quillabamba, Cusco, Perú.

2Escuela de postgrado de tecnología de alimentos, Universidad Nacional de San Antonio Abad del Cusco. Av. La Cultura.

3Universidad Nacional Intercultural de Quillabamba. El Arenal s/n. Quillabamba, Cusco, Perú.

4Departamento académico de ciencias básicas e ingeniería civil, Universidad Nacional Intercultural de Quillabamba. El Arenal s/n. Quillabamba, Cusco, Perú.

5Escuela profesional de ingeniería de alimentos, Universidad Nacional Intercultural de Quillabamba. El Arenal s/n. Quillabamba, Cusco, Perú.

Resumen

Palabras claves: Sistema concentrado; segunda ley de Fourier; sensores tipo K; coeficiente convectivo de transferencia de calor; difusividad térmica

Abstrac

Simple innovations in temperature control during cocoa roasting can help improve the quality of chocolate made by small entrepreneurs in the Andean-Amazonian valleys of Peru. The objective of this research was to evaluate the effect of oven temperature on the temperature of cocoa beans (Theobroma cacao) during roasting, using six mathematical models. Cocoa beans in the amounts of 100 and 200 g were placed in a tray in a conventional electric oven set at 250 °C. A K-type thermocouple with its respective reader was introduced in the geometric center of a cocoa bean and another 5 cm from the surface. The readings were recorded every 5 min and exported via Bluetooth to a computer. The temperature data were fitted to the mathematical models of the Concentrated System, Fourier's Law, Peleg, Page, Weibull and Midilli. The convective heat transfer coefficient (h), the thermal diffusivity (α), and the constants of the empirical models were determined. The h was 7.04 and 7.74 W/m2 °C for the toast of 100 and 200 g, respectively. The α was 3.09 x 10-8 and 3.28 x 10-8 m2/s for the 100 and 200 g toast, respectively. The rate constants of the empirical models showed a difference in the roasting of 100 and 200 g. All models represented the experimental data very well, since the values of R2, MRSE and MA%E were close to 1, close to 0 and less than 10%, respectively. The best mathematical model was that of Peleg.

Keywords: Concentrated system; Fourier's second law; K-type sensors; convective heat transfer coefficient; thermal diffusivity

Introducción

La provincia La Convención, región Cusco, la provincia de Carabaya y Sandia en la región Puno son regiones montañosas que poseen valles interandinos donde se cultivan desde tiempos antiguos diversos genotipos del cacao fino de aroma o cacao Chuncho. Hay evidencias de la existencia de diversidad genética en la región sur del Perú (Nieves-Orduña et al., 2021). Además, el mucílago del cacao Chuncho tiene una diversidad de aromas (Eskes et al., 2018) que hacen que los chocolates elaborados con los granos de cacao sean muy reconocidos en el mundo.

Por lo expuesto, el objetivo de esta investigación fue evaluar la temperatura del centro geométrico de los granos de cacao Chuncho durante el tostado en horno eléctrico, mediante seis modelos matemáticos.

Materiales y métodos

El cacao chuncho es de producción entre los meses de noviembre a marzo. Granos del cacao Chuncho de la campaña 2019/20 fueron obtenidos de una parcela de cultivo ubicado en el sector de Serranuyoc (latitud 120 46’ 55.09” S y longitud 720 39’ 58.31” W), Quillabamba, distrito de Santa Ana, provincia La Convención y región Cusco, Perú. Los experimentos fueron realizados en el Taller de Procesos Alimenticios de la Universidad Nacional Intercultural de Quillabamba.

Las dimensiones axiales, como el diámetro medio geométrico (dmg) y la esfericidad (φ), fueron determinadas antes del tostado por las siguientes ecuaciones (Mohite et al., 2019):

dmg=a*b*c1/3 (1)

φ=a*b*c1/3a (2)

El esquema del tostado en horno eléctrico convencional de la marca IMACO (Modelo HES35R, China), potencia de 1200 W, resistencias eléctricas en la parte superior e inferior, temperatura máxima de 250°C y tiempo máximo de 120 min, es mostrado en la Figura 1.

Para el análisis de los datos experimentales, se consideró que los granos de cacao, por ser pequeños, pueden ajustarse al modelo de sistema concentrado de transferencia de calor en estado transitorio. En este modelo, se considera que el calor se transfiere por convección hacia la superficie de los granos, incrementando la energía de forma instantánea sin formar gradiente. La ecuación de sistema concentrado (Çengel & Ghajar, 2011) es:

TtTTiT=ehAsmCpt (3)

Donde, T t es la temperatura (°C) del grano en el tiempo t, T i es temperatura inicial, T es la temperatura a 5 cm de la superficie de los granos de cacao, h es el coeficiente convectivo de transferencia de calor (W/m °C), AS es el área superficial de los 100 o 200 g que forman una placa plana (m2), m es la masa (g) y CP es el calor especifico (J/kg °C). El calor específico fue determinado por la ecuación de Siebel, que es muy utilizada en alimentos con buena aproximación:

Cp=Xbh.3349+837 (4)

Donde, es el contenido de agua en base húmeda.

El modelo de sistemas concentrados es útil para determinar experimentalmente el coeficiente convectivo de transferencia de calor, el mismo que se utiliza para determinar el número de Biot.

El segundo modelo matemático utilizado es el de la ley de Fourier de la transferencia de calor (Çengel & Ghajar, 2011). El mismo que mediante un análisis unidireccional de la transferencia de calor en estado transitorio en función del tiempo, es expresada por una ecuación diferencial.

2Tx2=1dTdt (5)

Donde, T es la temperatura, x es la dirección de la transferencia, α es la difusividad térmica (m2/s) y t es el tiempo (s).

La solución de la Ec. 5, por el método de separación de variables y para la aproximación de un término en la determinación de la temperatura a lo largo de x,

Tx, tTTiT=A1eλ12L2tcosλ1x/L (6)

y para la temperatura en el centro geométrico del grano es:

T0TTiT=A1eλ12L2t (7)

Donde, T0 es la temperatura del centro geométrico del grano en el tiempo (°C), T(x, t) es la temperatura a lo largo de x durante el tostado del grano en el tiempo (°C), Ti es la temperatura inicial (°C), T es la temperatura del infinito o del horno (°C), α es la difusividad térmica (m2/s), t el tiempo (s), L es la mitad del espesor c (m), A1 y λ1 son los coeficientes utilizados en la aproximación de un término en base al número de Biot.

Bi=hLk (8)

Donde, k es la conductividad térmica (W/m °C) de los granos de cacao. El mismo que fue determinado por la ecuación linear para granos de cacao (Bart-Plange, 2012).

k=0.0007 T+0.0024 (9)

Donde, T es la temperatura promedio del aire del horno (°C).

Los modelos empíricos de Page, Weibull, Midilli y Peleg, respectivamente, fueron utilizados en esta investigación para determinar las constantes de velocidad del tostado de los granos. Estos y otros modelos fueron utilizados en el tostado de cacao, pero para la difusión de agua (Ariana et al., 2019).

TtTT0T=expk1tn (10)

TtTT0T=exptk1n (11)

TtTT0T=a expk1tn+bt (12)

Tt=T0+tk1+k2*t (13)

Donde, a, b, k 1 , k 2 y n son constantes de los modelos empíricos.

El ajuste de los modelos fue realizado probando un valor aproximado de las constantes de los modelos y ajustado el error mediante la herramienta Solver del Excel 2010®. Los valores ajustados fueron evaluados mediante un análisis estadístico y validados mediante el coeficiente de determinación R2, la Media Residual Cuadrática del Error (MRSE) y la media Absoluta Porcentual del Error (MA%E). Si el R2 es próximo de 1 indica que la curva de ajuste es muy semejante al experimental. Si el MRSE es próximo de 0, indica que el error tiende a cero. Si el MA%E esta entre 5 - 10% indica un ajuste bueno y si es menor a 5%, indica un ajuste muy bueno a los datos experimentales. El MRSE y MA%E es definido como:

MRSE=(n=1  XexpXCal2N)12 (14)

MA%E=100Nn=1XexpXCalXexp (15)

Para verificar si los tratamientos con 100 y 200 g de cacao son significativamente diferentes, se aplicó la prueba de ANOVA al 95% de probabilidad y Tukey (0.05 de error) en base los Coeficientes convectivos de transferencia de calor (h) y difusividades térmicas determinados en cada repetición para el modelo de sistema concentrado y la ley de Fourier.

Las propiedades axiales de los granos de cacao al inicio del tostado son mostradas en la Tabla 1.

Tabla 1 Propiedades axiales, gravimétricas y otras de los granos de cacao utilizadas en el experimento.

Diámetro mayor, a mm 18,27 ±1,02
Diámetro medio, b mm 10,39 ±0,78
Diámetro menor, c mm 7,30 ±0,85
Diámetro Medio Geométrico, DMG mm 11,13 ±0,56
Masa de un grano g 0,66 ±0.01
Calor específico J/kg °C 1138,19 ±4.05
Conductividad térmica W/m °C 0,096 ±0,001

* La desviación estándar es la medida de la dispersión de los valores respecto a la media (valor promedio).

Las propiedades axiales muestran que los granos de cacao Chuncho son pequeños en comparación a las variedades comerciales. Granos de cacao hibrido tuvieron diámetro mayor, medio y menor de 28,3; 12,9; y 10,5 mm, respectivamente (Bastos et al., 2018). Los diámetros a, b y c del cacao Chuncho del presente trabajo son considerablemente menores. Granos de cacao hibrido tuvieron un dmg de 15,65 mm y esfericidad de 0,55. Los granos de cacao Chuncho en este trabajo tuvieron dmg de 11,13 mm y esfericidad de 0,61, siendo estos más pequeños y más esféricos que el hibrido. Consideramos que los granos de cacao chuncho son más esféricos que los granos de cacao hibrido como una característica típica de esta variedad. Para el modelamiento matemático por el modelo de la ley de Fourier, el valor de L, que es la media espesura en la transferencia de calor se consideró la mitad del valor del diámetro c, siendo 0,0037 m 0 3,65 mm.

En la Figura 2, se muestra los puntos experimentales de las temperaturas del horno y del centro geométrico del grano en los ensayos con 200 g de cacao desde el inicio del experimento obtenidos por sensores tipo K.

En la Figura 2, se observa el inicio del calentamiento del horno con los dos sensores sin los granos de cacao hasta un poco más de 4 min. El sensor para el control de la temperatura del grano estuvo más alejado de las resistencias eléctricas, por lo que al inicio hay una diferencia. Entre 4 y 5 min de calentamiento los sensores mostraron valores próximos de 250 °C, momento en el cual se abrió la puerta, se colocó la bandeja con los granos de cacao, se introdujo el sensor en el grano perforado y se cerró la puerta. Se observa que al cerrar la puerta el sensor de control de la temperatura del horno muestra un incremento de la temperatura con mayor velocidad que la temperatura del sensor inserido en el centro del grano. La temperatura del horno cae al abrir la puerta para colocar el producto, es por el ingreso de aire frio y salida de aire caliente. En el incremento de temperatura del grano, se observa una fase de homogenización a las nuevas condiciones de temperatura. Luego se observa una curva típica de transferencia de calor en estado transitorio. Al contrario, la temperatura del aire se incrementa durante 1 minuto y cae ligeramente por la absorción de calor por los granos. Comportamiento semejante a la temperatura de los granos fue observada durante el tostado de granos de café en tostador artesanal israelí (Kwok et al., 2020).

En la Figura 3 se muestra el comportamiento de la temperatura del horno a 5 cm de los granos para el tostado de 100 y 200 g de cacao en 4 repeticiones.

Por los datos de la Figura 3, se observa que, para el tostado de 100 g, la temperatura de los sensores en dos repeticiones aumenta exponencialmente, pero en las otras 2 repeticiones la temperatura cae ligeramente para continuar subiendo. La flecha en la Figura 3 muestra aproximadamente el momento del desligado del horno. La caída de la temperatura a partir de ese momento es evidente. Se observa que, en el tostado de 200 g de cacao, la temperatura del horno a 5 cm de los granos cae considerablemente entre 7 a 10 °C en 2 minutos, manteniendo esa temperatura ente 3 a 4 minutos para luego subir a más de 135 °C. Al parecer, esta caída es una muestra de la absorción de calor por los 200 gramos de cacao por el mecanismo de radiación. Por otro lado, al desligar el horno se muestra la caída de la temperatura del horno, pero la temperatura del centro sigue en aumento. Esto confirma que la velocidad de enfriamiento del aire es superior al grano de cacao y que el centro del grano sigue bajo un gradiente de temperatura.

Mayor masa durante el tostado, mayor fluctuación de la temperatura del aire del horno. Por lo visto, en la Figura 3, las muestras de cacao absorben calor del aire del horno haciendo que su temperatura disminuya. La velocidad de absorción de calor por los granos es mayor a la velocidad de calentamiento por las resistencias del horno. La forma de ondas en el incremento de las temperaturas indica que se generan movimiento de aire caliente y frio alrededor del sensor. También puede ser entendido que las oscilaciones de temperatura se deben a la evaporación de agua de los granos y consecuente absorción de calor latente de evaporación. A este movimiento imperceptible se le denomina convección natural. Eso es más intenso durante el tostado de 200 g de cacao. Resultados semejantes fueron observados en el control de la temperatura del horno mediante termopares en la cocción de carne (Isleroglu & Kaymak-ertekin, 2016).

Para el análisis de la transferencia de calor durante el tostado se seleccionó los datos de temperatura al inicio del tostado, luego de cerrar la puerta del horno. Los datos promedio obtenidos de 4 repeticiones en el tostado de 100 y 200 g de cacao, fueron ajustados a los 6 modelos matemáticos. En la Figura 4 son mostrados los datos experimentales y los ajustados por el modelo de Sistema Concentrado (Ec. 3).

Por los datos experimentales de la Figura 4-A, la curva de calentamiento de 100 g es más curveada que el calentamiento de 200 g de cacao, pero las temperaturas son menores que en el tostado de 200 g. Resultados semejantes fueron obtenidos con el uso de sensores de temperatura en el tostado de café, en la cocción de carne de pollo en horno eléctrico (Rabeler & Feyissa, 2018). En la cocción de carne de pollo, las temperaturas del horno fueron de 170 y 230 °C. Al parecer, la transferencia de calor por radiación, no considerado en esta investigación, tiene efectos directos en la mayor temperatura de los granos. Los 200 g de cacao tiene mayor área superficial y a mayor área, mayor transferencia de calor principalmente por radiación.

En la Figura 4-B, la línea roja muestra el pronóstico de la temperatura de la superficie de los granos (Ec. 6), siendo que al final del tostado la diferencia del centro y la superficie fue de 3,66°C, mientras que la temperatura de la mitad del espesor del grano prácticamente es la misma que la temperatura del centro. Los resultados para el tostado de 200 g fueron semejantes.

En la Tabla 2 se muestran las constantes de los modelos ajustados con sus respectivos coeficientes R2, MRSE y MA%E.

Tabla 2 Constantes de los modelos matemáticos con sus respectivas medidas de error del tostado de 100 y 200 g de cacao.

Modelos Constantes Medidas de error
Sistemas concentrados h, W/m2 s R2 MRSE (°C) MA%E (%)
100 g 5,78±0,75A -- -- -- 1,000 0,425 0,369
200 g 5,81±0,33A -- -- -- 0,996 1,519 1,107
2a Ley de Fourier α, m2/s (x10-8) R2 MRSE MA%E
100 g 3,24 A -- -- -- 0,991 6,103 5,014
200 g 3,58 A -- -- -- 0,964 5,795 4,344
Page k1 n R2 MRSE MA%E
100 g 0,0022 1,0811 -- -- 0,999 1,000 0,513
200 g 0,0014 1,1804 -- -- 0,987 2,755 1,976
Weibull K1 n R2 MRSE MA%E
100 g 281,3388 1,0810 -- -- 0,951 1,001 0,512
200 g 263,8486 1,1801 -- -- 0,966 5,840 8,843
Midilli A k n b R2 MRSE MA%E
100 g 0,9968 0,0022 1,0856 0 0,999 0,990 0,518
200 g 0,9970 0,0024 1,0869 0,00000001 0,986 3,007 1,953
Peleg k1 k2 R2 MRSE MA%E
100 g 3,1490 0,0069 -- -- 1,000 0.620 0,549
200 g 4,0400 0,0069 -- -- 0,999 0,820 0,605

Letras iguales del superíndice muestran que no hay diferencia significativa.

Todos los modelos matemáticos ajustaron bien a los datos experimentales. Como mencionado en el párrafo anterior, el modelo de Sistema Concentrado y el de la Ley de Fourier permitieron determinar dos propiedades térmicas (h y α). Las constantes de los modelos empíricos, Page, Weibull, Midilli y Peleg, permiten de forma simple pronosticar las temperaturas del grano de cacao en función del tiempo durante el tostado en horno eléctrico convencional. Las constantes de los modelos empíricos generalmente aumentan a mayor masa en el tostado. Resultados semejantes fueron obtenidos con modelos empíricos en el tostado de cacao (Ariana et al., 2019). Al usar las constantes de los modelos empíricos en el tostado se debe considerar el tipo del horno utilizado en esta investigación, pues hornos diferentes pueden dar otros resultados.

Con respecto a las medidas de error en el uso de los modelos matemáticos. El R2 varió de 0,95 a próximo de 1, siendo este resultado muy bueno. La MRSE entre los datos de temperatura observados y pronosticados oscilaron entre 0,425 y 6,347 °C para los procesos de tostado de 100 y 200 g de cacao. La MA%E en todos los modelos es menor a 10%. El modelo que más ajusta es el de sistema concentrado con un valor de 0.369%. En general todos los modelos tienen buenos valores de ajuste.

Conclusiones

Las temperaturas del centro geométrico de granos de cacao y del aire a 5 cm de los mismos, fueron determinadas mediante sensores tipo K. Las temperaturas de los granos presentaron formas típicas de la transferencia de calor en estado transitorio.

Los datos experimentales se ajustan muy bien a los 6 modelos matemáticos, permitiendo conocer el coeficiente convectivo de trasferencia de calor, la difusividad térmica y las constantes de los modelos empíricos. Los modelos y sus constantes permitirán predecir los tiempos de tostado de 100 a 200 g de cacao Chuncho en horno eléctrico convencional. El mejor modelo matemático que puede ser utilizado es el de Peleg.

El uso de sensores puede ser una alternativa económica de controlar la temperatura de los granos durante el tostado y de acuerdo al tipo de horno tostador a utilizar. Experimentos previos ser realizados para cada tipo de horno siguiendo la metodología utilizada en esta investigación. De esta forma los pequeños empresarios podrán mejorar la calidad de los derivados de cacao que los mismos fabrican.

A Universidad Nacional Intercultural de Quillabamba y la vicepresidencia de investigación por el financiamiento del proyecto de investigación (Resolución Nº 127-2018-CO-UNIQ).

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Recibido: 08 de Febrero de 2022; Aprobado: 27 de Abril de 2022

*Autor correspondiente:augusto.pumacahua@uniq.edu.pe

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